Оптимизация производственной программы

При осуществлении производственного процесса предприятие употребляет разные ресурсы. Эти ресурсы можно подразделять на определенные категории. К примеру, производственная мощность, материалы, труд. При отсутствии жесткого централизованного пла­нирования вероятна разработка огромного количества производственных про­грамм при использовании одних и тех же производственных ресур­сов. В таких критериях выбор лучшего варианта производствен­ной Оптимизация производственной программы программки становится важной задачей управления предприя­тия.

Задачка оптимизации производственной программки может быть сформулирована в 2-ух вариантах:

- определение производственной программки, позволяющей по­лучить лучший итог (наибольший доход, прибыль) при данных объемах ресурсов;

- определение производственной программки, обеспечивающей получение данного объема производства при меньших затра­тах.

В лабораторной работе Оптимизация производственной программы решается задачка получения максималь­ного дохода предприятия при данных объемах производственных ресурсов. Задачка решается при последующих критериях:

- номенклатура выпускаемой предприятием продукции вклю­чает 3 наименования;

- в производственном процессе употребляется 2 вида ресур­сов: металл и труд; объем ресурсов, которым располагает пред­приятие, ограничен;

- вся продукция, производимая предприятием в рассматриваемом периоде, реализуется в том Оптимизация производственной программы же периоде; остатков на его на­чало и конец предприятие не имеет;

- цены на продукцию в рассматриваемом периоде остаются не­изменными.

Математическая постановка задачки и способ её решения

Формализация задачки

Пусть - нормативная трудозатратность производства 1-го изделия j-го типа (чел.-час);

– нормативная металлоемкость 1-го изделия j-го типа (кг);

в1 – суммарная трудозатратность Оптимизация производственной программы производственной программки предприятия (чел.-час);

в2 – суммарная металлоемкость производственной программки предприятия (кг);

Сj – отпускная стоимость 1-го изделия j- го типа (руб.);

Хj– объем производства (количество) изделий j-го типа (шт.);

j = 1, 2, 3.

Нужно найти лучшую производственную программку предприятия Х0 = ( ), т.е. такое рассредотачивание объемов производства Х = ( ), при котором достигается Оптимизация производственной программы больший доход:

+ + = max ( + + ),

( ).

При ограничениях на трудозатратность и металлоемкость:

+ + = ;

+ + = .

В истинной работе мы будем полагать последующее:

- нормы трудозатратности и металлоемкости строго положительны:

> 0; i = 1,2; j = 1,2,3;

- объемы производства неотрицательны 0, 0, 0, так что если = 0, то изделие j-го типа не врубается в производственную программку, i = 1, 2, 3;

- лучшая производственная программка ( ), где 0, 0, 0 существует, т Оптимизация производственной программы.е. ограничения трудозатратности и металлоемкости сбалансированы;

- ограничения по трудозатратности и металлоемкости независимы в том смысле, что линейно независима неважно какая пара из векторов ( , ), ( , ), ( , ).

В контрольном примере, рассмотренном ниже, также во всех вариантах заданий, обозначенные догадки производятся в реальных производственных программках.

Способ решения

В пространстве переменных ( ) каждое из ограничений вида + + = по трудозатратности либо металлоемкости Оптимизация производственной программы определяет плоскость , проходящую через точки:

( = / , = 0, = 0) ,

( = 0, = / , = 0) ,

( = 0, = 0, = / ) ,

i = 1, 2.

Пример изображения этих плоскостей приведен на рис. 1.

Точки, лежащие на полосы скрещения плоскостей и , удовлетворяют ограничениям по трудозатратности и металлоемкости сразу. При всем этом линия скрещения существует в силу принятого догадки об отсутствии обоюдной зависимости ограничений.

В конце концов, условия 0, 0, 0 определяют отрезок полосы Оптимизация производственной программы скрещения плоскостей и , лежащий меж координатными плоскостями. Таковой отрезок тоже существует в силу сбалансированности ограничений. Точки отрезка (и только они) удовлетворяют всем ограничениям и догадкам, принятым в задачке.

Мотивированная функция y = + + является линейной по переменным ( ) и, как следует, добивается собственного большего и меньшего значения на концах построенного отрезка Оптимизация производственной программы, один из которых и является решением задачки.

Метод решения задачки

Последовательность вычислений при решении задачки оптимизации, поставленной в п. 2.1., сводится к последующему.

Находим координаты ( ) точки - встречи полосы скрещения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, решая систему уравнений:

+ = ;

+ = .

Так как векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в Оптимизация производственной программы виде:

= 0; = ; = .

Проверяем выполнение догадки о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из отысканных решений негативно, т.е. < 0 либо < 0, точка = ( ) не может служить хорошей производственной программкой предприятия. В данном случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В неприятном случае следует отыскать значение мотивированной функции в этой точке:

= + .

Находим координаты ( ) точки - встречи полосы Оптимизация производственной программы скрещения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, - решая систему уравнений:

+ = ;

+ = .

Так как векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в виде:

= ; = 0; = .

Проверяем выполнение догадки о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из отысканных решений негативно, т.е. < 0 либо < 0, точка = ( ) не может служить хорошей производственной программкой предприятия. В Оптимизация производственной программы данном случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В неприятном случае следует отыскать значение мотивированной функции в этой точке:

= + .

Находим координаты ( ) точки - встречи полосы скрещения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, решая систему уравнений:

+ = ;

+ = .

Так как векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в виде:

= ; = ; = 0.

Проверяем выполнение Оптимизация производственной программы догадки о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из отысканных решений негативно, т.е. < 0 либо < 0, точка = ( ) не может служить хорошей производственной программкой предприятия. В данном случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В неприятном случае следует отыскать значение мотивированной функции в этой точке:

= + .

Отметим, что приведенные выше выражения для Оптимизация производственной программы решений систем линейных уравнений, вытекают из аксиомы Крамера. При выполнении работы можно пользоваться хоть каким другим способом решения систем, в том числе способом Гаусса поочередного исключения переменных.

Для нахождения хорошей производственной программки нужно из отысканных решений избрать такое, которое обеспечивает больший доход предприятию.

Расположим приобретенные значения мотивированной функции , , в Оптимизация производственной программы порядке возрастания 0 . Вероятны последующие варианты.

Если > , то хорошей является производственная программка:

( = , = = ).

Если = > , то хорошей является неважно какая производственная программка, соответственная точкам отрезка, размещенного меж граничными точками и . Условимся в данном случае указывать только два граничных решения:

( = , = = );

( = , = = ).

Если = = > 0, то также имеется огромное количество хороших производственных программ, позволяющих предприятию получить однообразный больший вероятный Оптимизация производственной программы доход. Условимся в данном случае указывать три граничных решения (два из которых совпадают):

( = , = = );

( = , = = );

( = , = = ).

По существу задачки оптимизации производственной программки в окончательном решении следует опустить дробную часть (мантиссу) в значениях объемов производства.

В заключении следует высчитать доход предприятия от реализации хорошей производственной программки:

= + + .

Контрольный пример

Приведем пример оптимизации производственной программки Оптимизация производственной программы предприятия при ограничениях на трудозатратность и металлоемкость.

Пусть нормы трудозатратности производства 3-х изделий имеют значения:

= 0,2 (чел.-час); = 0,1 (чел.-час); = 0,3 (чел.-час),

а нормы металлоемкости тех же изделий – значения:

= 3 (кг); = 5 (кг); = 2 (кг).

Суммарная трудозатратность производственной программки определяется величиной

= 4250 (чел.-час),

а суммарная металлоемкость –

= 52000 (кг).

Изделия отпускаются с предприятия по ценам Оптимизация производственной программы за штуку:

= 1000 (руб); = 2500 (руб); = 3000 (руб).

Задачка оптимизации производственной программки предприятия может быть сформулирована последующим образом: указать производственную программку (рассредотачивание объемов производства изделий) ( ), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:

y = 1000 + 2500 + 3000 ;

0,2 + 0,1 + 0,3 = 4250;

3 + 5 + 2 = 52000;

0, 0, 0.

В пространстве переменных ( ) 1-ое из ограничений (по трудозатратности) определяет плоскость , проходящую через точки:

( = 4250/0,2 = 21250, = 0, = 0) ;

( = 0, = 4250/0,1 = 42500, = 0) ;

( = 0, = 0, = 4250/0,3 = 14166,6) .

Графическое изображение этой плоскости приведено Оптимизация производственной программы на рис. 1.

2-ое ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

( = 52000/3 = 17333,3, = 0, = 0) ;

( = 0, = 52000/5 = 10400, = 0) ;

( = 0, = 0, = 52000/2 = 26000) .

Плоскость также изображена на рис. 1.

Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает последующее:

- линия скрещения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0, = 0, = 0 в точках соответственно. Ограничения трудозатратности и металлоемкости линейно независимы;

- условия 0, 0, 0 определяют отрезок полосы скрещения, лежащей меж координатными плоскостями Оптимизация производственной программы = 0, = 0, а конец этого отрезка сущность точки и . Как следует, лучшая производственная программка существует (ограничения по трудозатратности и металлоемкости сбалансированы) и реализуется или в точке , или в точке ;

- точка содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программкой служить не может.

Рис.1. Графическое изображение плоскостей-ограничений в контрольном примере

Находим координаты точки = ( ) решая систему Оптимизация производственной программы уравнений:

0,1 + 0,3 = 4250,

5 + 2 = 52000.

Получаем: = 0;

= (4250*2 – 0,3*52000)/(0,1*2 – 0,3*5) = 5461,5;

= (0,1*52000 – 4250*5)/(0,1*2 – 0,3*5) = 12346,2.

Так как оба отысканных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение мотивированной функции в точке :

= 2500*5461,5 + 3000*12346,2 = 50692350.

Находим координаты точки = ( ), решая систему уравнений:

0,2 + 0,3 = 4250,

3 + 2 = 52000.

Получаем:

= (4250*2 – 0,3*52000)/(0,2*2 – 0,3*3) = 14200;

= 0;

= (0,2*52000 – 4250*3)/(0,2*2 – 0,3*3) = 4700.

Так как оба отысканных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение мотивированной функции в точке :

= 1000*14200 + 3000*4700 = 28300000.

При вычислении координат точки = ( ) методом Оптимизация производственной программы решения системы уравнений

0,2 + 0,1 = 4250,

3 + 5 = 52000,

получаем:

= (4250*5 – 0,1*52000)/(0,2*5 – 0,1*3) = 22928,6;

= (0,2*52000 – 4250*3)/(0,2*5 – 0,1*3) = - 3357,1;

= 0.

Значение 2-ой составляющие отрицательное, что ранее было увидено (см. рис. 1). В данном случае значение мотивированной функции можно вычислить:

1000*22928,6 – 2500*3357,1 = 14535850,

но согласно методу решения задачки мы полагаем доход предприятия равным нулю, = 0.

Расположим приобретенные значения мотивированной функции в порядке возрастания:

0 = < = 28300000 < = 50692350.

Можно созидать, что хорошей является 1-ая производственная программка, соответственная большему Оптимизация производственной программы значению мотивированной функции.

Опуская дробные части в значениях объемов производства, приходим к выводу:

- изделия первого типа не следует включать в лучшую производственную программку предприятия –

= 0;

- объем производства изделий второго типа запланировать в количестве

= 5461 (шт.);

- объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве

= 12346 (шт.).

При всем этом предприятие получит больший вероятный Оптимизация производственной программы доход:

= 2500*5461 + 3000*12346 = 50690500 (руб)., т.е. 50.6905 млн.руб.

Малозначительным резервом трудозатратности и остатком металла, получающимися в итоге опускания дробных частей в значениях объемов производства, по существу задачки можно пренебречь.

Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.

Таблица 1

Лучшая производственная программка предприятия

Тип изделия
Объем производства, шт.
Доход предприятия, руб.


optimalnaya-ili-dopustimaya-reakciya-pochvennogo-rastvora-dlya-osnovnih-selskohozyajstvennih-kultur.html
optimalnaya-shema-postroeniya-tehnologii-separacii-tbo.html
optimalnie-dozi-kreatina.html